MUY INTERESANTE GRACIAS 

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MULTIPLICACION O PRODUCTOS ENTRE MONOMIOS Y POLINOMIOS. Teresita Maciel Gomez 104

La multiplicación de polinomios es una operación algebraica que tiene por objeto hallar una cantidad llamada producto dadas dos cantidades llamadas multiplicando y multiplicador, de modo que el producto sea con respecto del multiplicando en signo y valor absoluto lo que el multiplicador es respecto a la unidad positiva. Tanto el multiplicando como el multiplicador reciben el nombre de factores del producto.

La multiplicación de polinomios cumple la propiedad distributiva. Es decir, que dados tres polinomios cualesquiera  se cumplirá que . Esta ley acostumbra a enunciarse diciendo que los factores se pueden agrupar de cualquier manera.

Asimismo, el producto de polinomios también cumplía la propiedad conmutativa. Es decir, que dados los polinomios cualesquiera , se cumplirá que . Esta ley acostumbra a enunciarse diciendo que el orden de los factores no altera el producto.

Por lo que respecta al signo del producto de dos factores, pueden presentarse los cuatro puntos siguientes:

a)      Si dos factores tienen el mismo signo positivo, su producto también tendrá signo positivo.

b)      Si el multiplicador tiene  signo positivo y el multiplicando tiene signo negativo, el producto tendrá signo negativo.

c)      Si el multiplicando tiene signo positivo y el multiplicador tiene signo negativo, el producto tendrá signo negativo.

d)      Si dos factores tienen ambos signo negativo, su producto tendrá signo positivo.

Por lo que podemos concluir en la Regla de los Signos, siguiente:

+	×	+	= +
+	×	-	= -
-	×	+	= -
-	×	-	= +

En la multiplicación algebraica pueden considerarse los tres casos siguientes:

a)      Multiplicación de monomios.

b)      Multiplicación de un polinomio por un monomio

c)      Multiplicación de polinomios

Multiplicación de monomios.

Para multiplicar monomios, se multiplican sus coeficientes y a continuación se escriben las letras diferentes de los factores ordenados alfabéticamente, elevadas a un exponente igual a la suma de los exponentes que cada letra tenga en los factores. El signo del producto será el que le corresponda al aplicar la regla de los signos.

Ejemplo:

Multiplicar

Solución:

Ejemplo:

Multiplicar

Solución:

Ejemplo:

Multiplicar

Solución:

Ejemplo:

Multiplicar

Solución:

El producto es negativo por que hay un número impar de factores negativos.

Multiplicación de un polinomio por un monomio

Para multiplicar un polinomio por un monomio se multiplica cada uno de los términos del polinomio por el monomio, teniendo en cuenta la regla de los signos, y se suman todos los productos parciales así obtenidos.

Ejemplo:

Multiplicar

Solución:

Ejemplo:

Multiplicar:

Solución:

Ejemplo:

Multiplicar:

Solución:

Ejemplo:

Multiplicar:  por 

Solución: 

Multiplicación de polinomios

Para multiplicar un polinomio por otro se multiplican todos los términos del multiplicando por cada uno de los términos del multiplicador, teniendo en cuenta la regla de los signos, y a continuación se efectúa la suma algebraica de todos los productos parciales así obtenidos.

Ejemplo:

Multiplicar:

Ejemplo:

Multiplicar:

Solución: Se multiplican los dos primeros términos

A continuación el resultado obtenido lo multiplicamos por el otro polinomio

El procedimiento para multiplicar un monomio por un polinomio:

1. Se multiplica el monomio por cada uno de los términos del polinomio.
2. Se aplica la “ley de signos”.
3. Multiplicamos los coeficientes, sin tomar en cuenta los signos, ya que los signos se operaron en el paso 2.
4. Multiplicamos las variables (literales o letras) aplicando la “ley de los exponentes”.
5. Efectuamos la suma algebraica de todos los términos obtenidos

MONOMIOS Y POLINOMIOS Erika Jacome Sanchez104

 Monomio es una expresión algebraica en la que se utilizan exponentes naturales de variables literales que constan de un solo término (si hubiera una suma o una resta sería un binomio), un número llamado coeficiente.

°las partes de un monomio son:
1Coeficiente

El coeficiente del monomio es el número que aparece multiplicando a las variables.

             Por ejemplo, en la expresión 9x², el coeficiente de x² es 9.

2Parte literal

La parte literal está constituida por las letras y sus exponentes.

             por ejemplo, en la expresión 9x^2, la literal  es X

3Grado

El grado de un monomio es la suma de todos los exponentes de las letras o variables.El grado de 2x²y³z es: 2 + 3 + 1 = 6

Un polinomio es una expresión hecha con constantes, variables y exponentes, que están combinados usando sumas, restas y multiplicaciones, … pero no divisiones. Los exponentes sólo pueden ser 0,1,2,3,... etc.
El grado de un polinomio es una variable es el exponente mayor. ___ 5y⁴ - 2y³ + y²- 7y + 8 es un polinomio de grado 4. Polinomios pueden ser sumados, usando un formato vertical, mediante la combinación de términos semejantes.
Por ejemplo simplifica (2x² + x - 1) + ( 3x³ + 4x² - 5 ) usando el formato vertical.

Operaciones Entre Polinomios
Moira Denise Muñoz Morales- 104

Suma algebraica 

La suma de polinomios es una operación en la que partiendo de dos polinomios P(x) y Q(x), obtenemos un tercero R(x), que es la suma de los dos anteriores, R(x) tiene por coeficiente de cada monomio el de la suma de los coeficientes de los monomios de P(x) y Q(x) del mismo grado.

Se consideran monomios semejantes aquellas expresiones algebraicas que tienen la misma parte literal y mismo exponente. Por ejemplo: 5x² , -7x² , -x² , (5/7)x² , son términos semejantes. 

Proceso de la suma algebraica

Sumar: 

3a²b - 4ab² + 8a²b + 3ab² - 7a²b + 7ab² =

Paso 1. Reordenar los términos para identificar cuáles son semejantes:

=3a²b + 8a²b - 7a²b - 4ab² - 3ab² + 7ab²

Paso 2. Separar los coeficientes de los términos semejantes para poder realizar más fácilmente la suma algebraica.

=(3 + 8 - 7) a²b + (- 4 - 3 + 7) ab²

=(11 - 7) a²b + (- 7 + 7) ab²

= 4a²b + 0ab²

= 4a²b

^{La simplificación de la expresión inicial es:} 4a²b

En este vídeo se puede notar el procedimiento para la suma algebraica de polinomios.

Pero esta no es la única manera de realizar este tipo de operaciones. En el siguiente vídeo se muestra una forma distinta de realizar estas sumas.

Sumas de polinomios con coeficientes fraccionarios.

Los coeficientes, al ser números reales, pueden ser racionales; en este caso habrá que recordar algunos métodos para resolver suma de fracciones.

Ejemplo:

En este vídeo se muestra como resolver una suma de polinomios de este tipo.

 Sumas de polinomios con uso de signos de agrupación.

Al realizar una suma algebraica podemos encontrarnos con expresiones como la siguiente, que implican el uso de signos de agrupación:

Primero se tienen que eliminar los signos de agrupación; este proceso se ejecuta del centro de la expresión hacia los extremos. En este caso, es importante recordar algunas propiedades de los números reales: el inverso de un número se puede expresar como        -(+n)= -n y -(-n) = +n , quedando la expresión de la siguiente manera: 

Ahora aplicamos la propiedad del neutro aditivo sabiendo que + n - n = 0

Para terminar, se organizan los términos semejantes y se reducen:

*productos notables*

Adriana Flores Torres 104

Una de las características importantes del álgebra es que considera múltiples caminos para resolver un problema o ejercicio; de este modo, para resolver un producto de dos binomios existen "atajos" se les ha llamado productos notables.

Sabemos que se llama producto al resultado de una multiplicación. También sabemos que los valores que se multiplican se llaman factores .

Se llama productos notables a ciertas expresiones algebraicas que se encuentran frecuentemente y que es preciso saber factorizarlas a simple vista; es decir, sin necesidad de hacerlo paso por paso.

Se les llama productos notables (también productos especiales ) precisamente porque son muy utilizados en los ejercicios.

A continuación veremos algunas expresiones algebraicas y del lado derecho de la igualdad se muestra la forma de factorizarlas (mostrada como un producto notable ).

Cuadrado de la suma de dos cantidades o binomio cuadrado.

para desarrollar un producto notable, es importante aplicar otra de las leyes de los exponentes:en este caso aplicaremos la potencia de una potencia.

(am)=am°n

ahora citaremos los productos notables mas famosos del álgebra: 

binomios al cuadrado 

su principal característica es que se trata del producto de dos binomios exactamente iguales, como en el siguiente caso:

calcular el producto entre los siguientes binomios:

método usado anteriormente:

(5m+2n)(5m+2n)=(5m)(5m+2n)+(2n)(5m+2n)
=25m2+10mn+10mn+4n2
=25m2+20mn+4n2

un binomio al cuadrado siempre es igual a un trinomio cuadrado perfecto

(x+y)(x+y)=(x+y)2=x2 +2xy+y2

(x-y)(x-y)=(x-y)2=x2-2xy+y2

en donde x corresponde al primer termino del binomio, en tanto y corresponde al segundo termino del binomio.

Producto de dos binomios conjugados

Dos binomios conjugados se diferencian sólo en el signo de la operación. Para su multiplicación basta elevar los monomios al cuadrado y restarlos (obviamente, un término conserva el signo negativo), con lo cual se obtiene una diferencia de cuadrados.

${\displaystyle (a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}\,}$

Ejemplo:

${\displaystyle (3x+5y)(3x-5y)=\,}$

${\displaystyle (3x)(3x)+(3x)(-5y)+(5y)(3x)+(5y)(-5y)\,}$

Agrupando términos:

${\displaystyle (3x+5y)(3x-5y)=9x^{2}-25y^{2}\,}$

A este producto notable también se le conoce como suma por la diferencia.

• En el caso ${\displaystyle (p-a+b+c)=(p-a-b-c)=(p-a)^{2}-(b+c)^{2}}$,  aparecen polinomios

Expresiones algebraicas

Maria Fernanda Hernandez Vasquez-104

 La idea principal en álgebra es utilizar letras para representar relaciones entre los números sin especificar cuáles son esos números. Utilizamos letras o variables para representar las partes de la expresión que pueden asumir diferentes valores o para representar una incógnita que tenemos que encontrar.

Una expresión algebraica es un conjunto de cantidades numéricas y literales relacionadas entre sí­ por los signos de las operaciones aritméticas como sumas, diferencias, multiplicaciones, divisiones, potencias y extracción de raí­ces.

Trabajar en álgebra consiste en manejar relaciones numéricas en las que una o más cantidades son desconocidas. Estas cantidades se llaman variables, incógnitas o indeterminadas y se representan por letras.

Una expresión algebraica es una combinación de letras y números ligadas por los signos de las operaciones: adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación.

Las expresiones algebraicas nos permiten, por ejemplo, hallar áreas y volúmenes.

Longitud de la circunferencia: 2πr, donde r es el radio de la circunferencia.

Área del cuadrado: S = l², donde l es el lado del cuadrado.

Los términos se construyen con cuatro elementos.

1. Signo
2. Literal
3. Coeficiente y
4. Grado

Finalmente, las expresiones algebraicas se dividen en dos:

1. Monomio
2. Polinomio

En las expresiones algebraicas, las letras representan valores que no conocemos y permiten realizar fórmulas universales.

Monomio.- El monomio se  conforma de una expresión algebraica (πr2) o (6X2+32y4)

Polinomio.- Un polinomio se conforma por varios términos (6xy2 + 9c4 -3c4)

Ejemplos de expresiones algebraicas:

1.- Términos:

• 3a2b5 +  7y2 - abc6
• 6x2 + 98y3

2.- Monomios:

• 9a3b4
• 19n291
• 17xy+5k2

3.- Trinomios:

• 3n5y3 +23n5y8z3 – π2
• 3n - 22ª2  + 26n4
• xy + 18n3 - 2x2

4.- Polinomios (más de tres términos):

• 3n5y3 +23n5y8z3 – π2  3n - 22ª2  + 26n4
• xy + 18n3 - 2x2 - 9a3b4 - 19n291 +17xy+5k2
• 3a2b5 +  7y2 - abc6  + 6x2 + 98y3

¿A qué se le llama "Expresiones Algebraicas Racionales"?
A esas "fracciones que tienen polinomios en el numerador y denominador". En este tema nos enseñan a trabajar con fracciones entre polinomios: simplificarlas, operar con ellas y resolver ecuaciones con esa forma. 

¿Que es una expresion algebraica irracional?

Son la solución de alguna ecuación algebraica y se representan por un número finito de radicales libres o anidados; si x representa ese número, al eliminar radicales del segundo miembro mediante operaciones inversas, queda una ecuación algebraica de cierto grado. Todas las raíces no exactas de cualquier orden son irracionales algebraicos. 

Por ejemplo, el número áureo es una de las raíces de la ecuación algebraica: 

x2 − x − 1 = 0, por lo que es un número irracional algebraico.